Лекции по общей алгебре: Учебное пособие. 2-е изд





Курош А. Г.
Лекции по общей алгебре:
Учебное пособие. 2-е изд.

ISBN 978-5-8114-0617-3

Год выпуска 2007
Тираж 1500 экз.
Формат 12,8  20 см
Переплет: твердый
Страниц 560

В настоящем издании впервые объединены две книги одного из крупнейших алгебраистов XX в. А. Г. Куроша (1908–1971): «Лекции по общей алгебре» и «Общая алгебра. Лекции 1969–1970 учебного года». Первая из этих книг выходила в 1962 и 1973 гг., неоднократно переводилась на иностранные языки. Вторая была издана в 1970 г. в МГУ (ротапринтным способом), а затем в 1974 г. Автор намеревался объединить два упомянутых учебника в один. К сожалению, при его жизни этот замысел не был осуществлен.

В учебнике освещаются, в частности, следующие вопросы: частично упорядоченные множества и аксиома выбора, группы, полугруппы и инверсные полугруппы, квазигруппы и лупы, кольцоиды, полугруды, ассоциативные и неассоциативные кольца, универсальные алгебры, группы с мультиоператорами, структуры, модули, линейные алгебры, упорядоченные и топологические группы и кольца, нормированные и дифференциальные кольца. Как и другие известные учебники А. Г. Куроша («Курс высшей алгебры», «Теория групп»), книгу отличает ясность изложения материала. Для студентов математических специальностей и научных работников.
Предисловие
На рубеже двадцатых и тридцатых годов нашего века широкие круги математикой обнаружили, что и алгебре, одной из старейших ветвей математики, произошла радикальная перестройка. Эта перестройка, а именно превращение алгебры в теоретико-множественную, аксиоматическую науку, имеющую основным объектом изучения алгебраические операции, производимые над элементами произвольной природы, была подготовлена, конечно, всем предшествующим развитием алгебры. Началась она еще в конце девятнадцатого века, продолжалась, постепенно усиливаясь, в первых десятилетиях двадцатого века, но лишь выход о 1930 и 1931 гг. двухтомной «Современной алгебры» Ван-дер-Вардена сделал идеи, результаты и методы этой «новой» алгебры доступными всем математикам–неалгебраистам.

Общеизвестно, сколь значительным, а иногда и решающим, было в дальнейшем влияние этой современной алгебры на развитие многих областей математики, из которых в первую очередь назовем топологию и функциональный анализ. Одновременно в последние три десятилетия продолжалось интенсивное и даже бурное развитие самой алгебры, обнаружились ее многочисленные новые связи со смежными разделами науки, и в результате лицо современной или, как мы предпочитаем говорить, общей алгебры стало сейчас совсем иным, чем оно было тридцать лет тому назад.

За эти десятилетия весьма далеко идущее развитие испытали те более старые ветви общей алгебры — теория полей и теория ассоциативных и ассоциативно-коммутативных колец, — которым была в основном посвящена книга Ван-дер-Вардена. Еще более решительной была перестройка теории групп, старейшей среди всех ветвей общей алгебры. Вместе с тем теория колец в значительной мере стала сейчас теорией неассоциативных колец, включающей в себя в качестве составной части теорию лиевых колец и алгебр. Возникла и заняла весьма заметное место топологическая алгебра, развилась параллельная ей теория упорядоченных алгебраических образований. Появилась и быстро развилась теория структур, в самые последние годы возникла параллельная ей теория категорий, имеющая, несомненно, очень большое будущее. В рамках классических разделов общей алгебры оформились такие самостоятельные направления, как гомологическая алгебра, уже нашедшая многочисленные выходы в топологию и алгебраическую геометрию, проективная алгебра, включившая в себя основное содержание проективной геометрии, и дифференциальная алгебра, открывающая общей алгебре непосредственные выходы в теорию дифференциальных уравнений. Теории полугрупп и квазигрупп перестали быть просто теориями «обобщенных» групп и нашли собственные пути развития и собственные области приложений. Возникла, наконец, общая теория универсальных алгебр и еще более общая, переплетающаяся с математической логикой, теория моделей.

Казалось бы, что основные идеи и важнейшие результаты, накопленные к настоящему времени общей алгеброй, должны были бы в той же мере входить к научный багаж всякого культурного математика, как это было и тридцатых годах, когда экзамен по современной алгебре сдавался большинством аспирантов-математиков. На самом деле, однако, это далеко не так — знакомство широких кругов математиков с достижениями общей алгебры остается сейчас в значительной мере на уровне начала тридцатых годов.

Причину этого указать легко. Основным пособием, по которому молодые математики изучают общую алгебру, у нас остается книга Ван-дер-Вардена, хотя эта книга, безусловно замечательная и сыгравшая в истории математики двадцатого века выдающуюся роль, уже так далека от современного состояния алгебры, что сам автор, выпуская ее четвертое издание, назвал ее просто «Алгеброй».

В зарубежной литературе имеются и другие книги, более свежие. Некоторые из них, несколько модернизируя материал, изложенный в книге Ван-дер-Вардена, в основном дополняют и развиваю! его в сторону личных научных интересов автора. Получаются полезные книги, не дающие, однако, правильного представления о современном состоянии общей алгебры. Кроме того, это обычно книги большого объема, адресующиеся скорее к алгебраистам, чем к математикам всех специальностей. Книги другого типа представляют собой по существу свод основных алгебраических понятий и их простейших свойств. Полезные в качестве справочных пособий, такие книги не дают читателю возможности почувствовать все своеобразие и глубину современной алгебраической науки — самые глубокие и самые значительные результаты в них или отсутствуют совсем, или же формулируются среди упражнений. Для того, чтобы показать математикам современное лицо общей алгебры, более подошла бы книга иного характера. Не очень большая по объему, она должна была бы адресоваться к читателю, владеющему университетским курсом высшей алгебры и желающему пополнить свое алгебраическое образование, но, быть может, не предполагающему выбирать алгебру своей научной специальностью. Этим не исключается, конечно, возможность того, что и алгебраист в вопросах, далеких от своих специальных интересов, мог бы найти в этой книге кое-что для себя полезное.

Эта книга не должна и не могла бы заменить монографий по отдельным разделам общей алгебры. Не должна она быть и коллекцией вводных глав из этих монографий. Задачей книги был бы показ основных разделов современной общей алгебры, преимущественно в их взаимной связи, причем изложение доводилось бы до отдельных глубоких теорем и нацеливалось бы на эти теоремы. Отбор весьма небольшого числа таких теорем в каждом из основных разделов общей алгебры неизбежно определялся бы субъективными оценками автора книги. Сами эти теоремы вовсе не должны были бы излагаться в наибольшей общности, достигнутой к настоящему времени.

Содержание этой книги было бы, понятно, весьма мозаичным, и читателю пришлось бы, следуя за автором, иногда в пределах одного параграфа переходить из одной ветви общей алгебры в другую. Разбивка материала на главы была бы столь условной, что о схеме зависимости глав не могло бы быть речи.

О желательности появления книги такого характера мне привелось говорить в 1951 г. на Всесоюзном совещании по алгебре и теории чисел (см. Успехи матем. наук 7:3 (1952), стр. 167), а писать ее я начал в 1956 г. За четыре года, прошедших с этого времени, работа над книгой неоднократно прерывалась и возобновлялась, план книги много раз менялся, многие параграфы писались по нескольку раз, написанный материал переставлялся, переделывался, выбрасывался. Иными словами, работа приобретала такой характер, что осе чаще и чаще приходилось вспоминать новеллу Бальзака «Неведомый шедевр»... Было разумно поэтому завершить работу, не стремясь довести книгу до того состояния, которое соответствовало бы изложенной выше программе. Читатель без труда обнаружит, в чем именно книга отступает от этой программы.

Замечу, что название книги полностью оправдывается тем, что в основе ее лежат три больших специальных курса по общей алгебре, прочитанные мною за последние десять лет в Московском университете.

В книгу местами включены формулировки некоторых результатов, в самой книге не доказываемых и не используемых. Предполагается, что эти формулировки, выделенные из общего текста звездочками, читателем не будут пропускаться. Вряд ли нужно специально подчеркивать, что включение в книгу этих дополнительных указаний не означает доведения соответствующих мест книги до самых последних результатов, к настоящему времени полученных.

Ссылки на журнальную литературу, встречающиеся в тексте книги, в общем довольно случайны и не могут рассматриваться как материал по истории алгебры в двадцатом веке. С другой стороны, к книге приложен достаточно полный указатель книг по различным разделам общей алгебры, вышедших за последние тридцать лет. В него включены и некоторые обзорные статьи.

Ввиду большой многоплановости и мозаичности книги в ней пришлось весьма часто делать ссылки на предшествующий материал, хотя ясно, что в большинстве случаев читатель будет находить эти ссылки для себя излишними. Ссылка V.3.6 означает: глава пятая, параграф 3, пункт 6.

И первоначальный план книги, и ряд ее глав, притом некоторые в различных редакциях, я имел удовольствие докладывать на семинаре по общей алгебре Московского университета. Я приношу моим товарищам по семинару за их интерес к моей работе, за советы и критику свою искреннюю благодарность. Я горячо благодарю также Олега Николаевича Головина, взявшего на себя большой труд редактирования книги, внимательно прочитавшего рукопись и сделавшего много полезных замечаний.

Москва, А. Курош май 1960 г.
Оглавление От редактора ......... 5 Предисловие ......... 7 Глава первая. Отношения ......... 11
§ 1. Множества ......... 11

§ 2. Бинарные отношения ......... 14

§ 3. Отношения эквивалентности ......... 17

§ 4. Частичная упорядоченность ......... 20

§ 5. Условие минимальности ......... 23

§ 6. Теоремы, равносильные аксиоме выбора ......... 28
Глава вторая. Группы и кольца ......... 33
§ 1. Группоиды, полугруппы, группы ......... 33

§ 2. Кольца, тела, ноля ......... 39

§ 3. Подгруппы, подкольца ......... 47

§ 4. Изоморфизм ......... 52

§ 5. Вложение полугрупп в группы и колец в тела ......... 58

§ 6. Неассоциатнвные тела, квазигруппы. Изотопия ......... 66

§ 7. Нормальные делители, идеалы ......... 72

§ 8. Гауссовы полугруппы ......... 81

§ 9. Гауссовы кольца ......... 89

§ 10. Дедекиидовы кольца ......... 97
Глава третья. Универсальные алгебры. Группы с мультиоператорами ......... 107
§ 1. Универсальные алгебры. Гомоморфизмы ......... 107

§ 2. Группы с мультиоператорами ......... 114

§ 3. Автоморфизмы, эндоморфизмы. Поле р-адических чисел ......... 125

§ 4. Нормальные и композиционные ряды ......... 136

§ 5. Абелевы, пильпотснтные и разрешимые -группы ......... 142

§ 6. Примитивные классы универсальных алгебр ......... 150

§ 7. Свободные универсальные алгебры ......... 154

§ 8. Свободные произведения групп ......... 165
Глава четвертая. Структуры ......... 178
§ 1. Структуры, полные структуры ......... 178

§ 2. Дедекиндовы структуры ......... 187

§ 3. Прямые объединения. Теорема Шмидта–Орэ ......... 195

§ 4. Прямые разложения -групп ......... 204

§ 5 Полные прямые суммы универсальных алгебр ......... 209

§ 6. Дистрибутивные структуры ......... 214
Глава пятая. Операторные группы и кольца. Модули. Линейные алгебры ......... 220
§ 1. Операторные группы и кольца ......... 220

§ 2. Свободные модули. Абелевы группы ......... 228

§ 3. Векторные пространства над телами ......... 236

§ 4. Кольца линейных преобразований ......... 241

§ 5. Простые кольца. Теорема Джскобсона ......... 248

§ 6. Линейные алгебры. Алгебра кватернионов и алгебра Кэли ......... 255

§ 7. Альтернативные кольца. Теорема Артина ......... 264

§ 8. Обобщенная теорема Фробениуса ......... 270

§ 9. Теорема Биркгофа–Витта о лиевых алгебрах ......... 279

§ 10. Дифференцирования. Дифференциальные кольца ......... 286
Глава шестая. Упорядоченные и топологические группы и кольца. Нормированные кольца ......... 293
§ 1. Упорядоченные группы ......... 293

§ 2. Упорядоченные кольца ......... 300

§ 3. Архимедовы группы и кольца ......... 307

§ 4. Нормированные кольца ......... 315

§ 5. Логарифмические нормирования полей ......... 321

§ 6. Теорема Алберта о нормированных алгебрах ......... 327

§ 7. Замыкания. Топологические пространства ......... 334

§ 8. Частные типы топологических пространств ......... 342

§ 9. Топологические группы ......... 347

§ 10. Связь топологии и нормирования в кольцах и телах ......... 354

§ 11. Соответствия Галуа. Основная теорема теории Галуа ......... 363
Указатель литературы ......... 373 Предметный указатель ......... 393 Лекции 1969–1970 учебного года Предисловие редактора ......... 400 Введение ......... 402
§1. Универсальные алгебры ......... 408

§2. Группы ......... 414

§3. Полугруппы ......... 417

§4. Инверсные полугруппы ......... 421

§5. Полугруды ......... 431

§6. Квазигруппы и лупы ......... 436

§7. Муфанговы лупы ......... 442

§8. n-группы ......... 448

§9. Ассоциативные кольца ......... 453

§10. Неассоциативные кольца ......... 460

§11. Группы с операторами. Модули ......... 468

§12. Представления универсальных алгебр в полугруппах ......... 475

§13. Универсальные алгебры с операторами. Дифференциальные кольца. Линейные алгебры. Мультиоператорные группы, кольца и линейные алгебры ......... 478

§14. Абелевы алгебры ......... 484

§15. Кольцоиды ......... 490

§16. Структуры ......... 495

§17. Полные структуры. Соответствия универсальных алгебр ......... 503

§18. Конгруенции ......... 511
Литература ......... 516 Предметный указатель ......... 553
0913436910583162.html
0913551996519120.html
0913624953800830.html
0913753081122851.html
0913843247007660.html